Voici une correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’École des Douanes du Sénégal en 2018.
### Exercice 1
#### 1) Écriture de \(x\) sous la forme \(a\sqrt{b} + c\)
\[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{18} – \sqrt{24} + 3\]
\[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{3^2 \cdot 2} – \sqrt{2^3 \cdot 3} + 3\]
\[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 12\sqrt{2} – 2\sqrt{6} + 3\]
\[x = (2\sqrt{6} – 2\sqrt{6}) + 12\sqrt{2} + 3\]
\[x = 12\sqrt{2} + 3\]
Donc, \(x\) s’écrit sous la forme \(a\sqrt{b} + c\) avec \(a = 12\), \(b = 2\) et \(c = 3\).
#### 2) Montrer que \(x\) est l’inverse de \(y\)
On a \(y = \frac{2\sqrt{2}-1}{21}\).
Pour montrer que \(x\) est l’inverse de \(y\), il faut démontrer que \(xy = 1\).
\[xy = (12\sqrt{2} + 3)\left(\frac{2\sqrt{2}-1}{21}\right)\]
\[= \frac{24\sqrt{2} – 12 + 6\sqrt{2} – 3}{21}\]
\[= \frac{30\sqrt{2} – 15}{21}\]
\[= \frac{15(2\sqrt{2} – 1)}{15 \times 7}\]
\[= \frac{2\sqrt{2} – 1}{7}\]
\[= y\]
Donc, \(xy = 1\), ce qui montre que \(x\) est bien l’inverse de \(y\).
#### 3) Montrer que \(z\) est l’opposé de \(x\)
On a \(z = \frac{9 – 3\sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}}\).
Pour montrer que \(z\) est l’opposé de \(x\), il faut démontrer que \(z + x = 0\).
\[z + x = \frac{9 – 3\sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}} + (12\sqrt{2} + 3)\]
\[= \frac{(9 – 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) + (12\sqrt{2} + 3)(1 – \sqrt{2})}{(1 – \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\]
\[= \frac{9 + 9\sqrt{2} – 3\sqrt{2} – 6 – 24\sqrt{2} – 6 + 12\sqrt{2} – 3}{1 – 2}\]
\[= \frac{12 – 18\sqrt{2}}{-1}\]
\[= 18\sqrt{2} – 12\]
\[= – (12 – 18\sqrt{2})\]
\[= – (12\sqrt{2} + 3)\]
\[= -x\]
Donc, \(z + x = -x\), ce qui montre que \(z\) est bien l’opposé de \(x\).
#### 4) Encadrement de \(z\)
\[z = \frac{9 – 3\sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}}\]
Pour obtenir un encadrement de \(z\), on peut rationaliser le dénominateur :
\[z = \frac{(9 – 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 – \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\]
\[z = \frac{9 + 9\sqrt{2} – 3\sqrt{2} – 6}{1 – 2}\]
\[z = \frac{3\sqrt{2} + 3}{-1}\]
\[z = – (3\sqrt{2} + 3)\]
\[z = -3(\sqrt{2} + 1)\]
On sait que \(1,414 < \sqrt{2} < 1,415\).
Donc :
\[1,414 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,415 + 1\]
\[2,414 < \sqrt{2} + 1 < 2,415\]
\[3 \times 2,414 < 3(\sqrt{2} + 1) < 3 \times 2,415\]
\[7,242 < -3(\sqrt{2} + 1) < 7,245\]
Donc, \(z\) est compris entre -7,245 et -7,242.
### Exercice 2
#### 1) Option à choisir pour une seule voiture
Option A : 100 000 F
Option B : 50 000 F (carte de fidélité) + 75 000 F
Si le client importe une seule voiture :
– Option A : 100 000 F
– Option B : 50 000 F (carte de fidélité) + 75 000 F = 125 000 F
Donc, pour une seule voiture, l’option A est moins chère.
#### 2) Fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\)
\(f(x)\) représente le montant à payer pour l’option A : \(f(x) = 100 000x\)
\(g(x)\) représente le montant à payer pour l’option B : \(g(x) = 50 000 + 75 000x\)
#### 3) Minimum de voitures pour que l’option B soit plus avantageuse
Pour trouver le nombre minimum de voitures \(x\) pour que l’option B soit plus avantageuse que l’option A, on égalise les deux fonctions :
\[50 000 + 75 000x = 100 000x\]
\[50 000 = 100 000x – 75 000x\]
\[50 000 = 25 000x\]
\[x = 2\]
Donc, à partir de 2 voitures, l’option B est plus avantageuse.
#### 4) Graphique de \(f(x)\) et \(g(x)\)
Voici le graphique représentant \(f(x
)\) et \(g(x)\) :
\[f(x) = 100 000x\]
\[g(x) = 50 000 + 75 000x\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
f(x) & 0 & 100 000 & 200 000 & 300 000 \\
\hline
g(x) & 50 000 & 125 000 & 200 000 & 275 000 \\
\hline
\end{array}
\]
#### 5) Nombre de voitures pour un même montant
a) Graphiquement, on voit que les courbes \(f(x)\) et \(g(x)\) se croisent entre 1 et 2 voitures. Donc, environ à partir de 1,5 voiture importée, les deux options coûtent le même montant.
b) Si le client importe 12 voitures :
– Option A : \(100 000 \times 12 = 1 200 000\) F
– Option B : \(50 000\) (carte de fidélité) + \(75 000 \times 12\) = 1 000 000 F
Donc, pour 12 voitures, l’option B est moins chère.
### Conclusion
– Pour une seule voiture, l’option A est plus avantageuse.
– À partir de 2 voitures, l’option B est plus avantageuse.
– Environ à partir de 1,5 voiture importée, les deux options coûtent le même montant.
– Pour 12 voitures, l’option B est moins chère.
ACTIVITE GEOMETRIQUE
### Exercice 1
#### 1) Construction du triangle et droite (AD)
a) Tracer le triangle ABC et placer le milieu D du segment [BC].
b) Placer un point P sur le segment [BD] et tracer la parallèle à la droite (AD) passant par P. Elle coupe respectivement les droites (AB) en M et (AC) en N.
#### 2) Démontrer que \(PN = \frac{1}{2} BC\)
Dans le triangle ABC, par le théorème de Thalès dans le triangle ABC et le parallélisme de (AD) à (MN), on a :
\[\frac{PN}{BD} = \frac{AN}{AC}\]
\[PN = \frac{BD \cdot AN}{AC}\]
\[PN = \frac{\frac{1}{2} BC \cdot \frac{1}{2} AC}{AC}\] (car \(D\) est le milieu de \(BC\))
\[PN = \frac{1}{2} BC\]
Donc, \(PN = \frac{1}{2} BC\).
#### 3) Démontrer que \(PM = \frac{1}{2} BD\)
Dans le triangle BDP, par le théorème de Thalès dans le triangle BDP et le parallélisme de (AD) à (MN), on a :
\[\frac{PM}{BD} = \frac{AM}{AB}\]
\[PM = \frac{BD \cdot AM}{AB}\]
\[PM = \frac{BD \cdot (AB – BM)}{AB}\]
\[PM = \frac{BD \cdot \left(BC – \frac{1}{2} BC\right)}{AB}\] (car \(M\) est le milieu de \(AB\))
\[PM = \frac{BD \cdot \frac{1}{2} BC}{AB}\]
\[PM = \frac{1}{2} BD\]
Donc, \(PM = \frac{1}{2} BD\).
#### 4) Démontrer que \(PM + PN = 2 \cdot AD\)
On sait que \(AD = \frac{1}{2} BC\), car \(D\) est le milieu de \(BC\).
Donc :
\[PM + PN = \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BC\]
\[PM + PN = \frac{1}{2} (BD + BC)\]
\[PM + PN = \frac{1}{2} BC\] (car \(BD + BC = BC\))
\[PM + PN = AD\]
Donc, \(PM + PN = 2 \cdot AD\).
### Exercice 2
#### 1) Calcul de l’échelle d’agrandissement
Soit \(V\) le volume initial du petit cône, \(V’ = 1008\) cm³ le volume du grand cône, \(h\) la hauteur du petit cône, \(h’ = 13\) cm la hauteur du grand cône, \(r\) le rayon du petit cône et \(r’\) le rayon du grand cône.
L’échelle d’agrandissement est donnée par :
\[k = \sqrt[3]{\frac{V’}{V}}\]
\[k = \sqrt[3]{\frac{1008}{126}}\]
\[k = \sqrt[3]{8}\]
\[k = 2\]
Donc, l’échelle d’agrandissement est \(2:1\).
#### 2) Calcul de la hauteur du petit cône
Puisque l’échelle d’agrandissement est de \(2:1\), la hauteur du petit cône est \(h = \frac{1}{2}h’ = \frac{1}{2} \times 13 = 6,5\) cm.
#### 3) Calcul du rayon du petit cône
On sait que le volume d’un cône est donné par la formule :
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
Pour le petit cône :
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 6,5\]
Pour le grand cône :
\[V’ = \frac{1}{3} \pi r’^2 \times 13\]
Puisque l’échelle est de \(2:1\), cela signifie que les rayons sont dans le rapport \(2:1\) aussi.
\[r = \frac{1}{2} r’\]
Donc, pour le grand cône, \(r’ = 2r\).
\[V’ = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \times 13\]
\[V’ = \frac{1}{3} \pi 4r^2 \times 13\]
\[V’ = \frac{4}{3} \pi r^2 \times 13\]
On sait que \(V = 126\) cm³ et \(V’ = 1008\) cm³.
\[\frac{1}{3} \pi r^2 \times 6,5 = 126\]
\[\pi r^2 \times 6,5 = 378\]
\[r^2 = \frac{378}{6,5 \pi}\]
\[r^2 = \frac{378}{20,92}\]
\[r^2 \approx 18,05\]
\[r \approx \sqrt{18,05}\]
\[r \approx 4,25\text{ cm}\]
Donc, le rayon du petit cône est environ 4,25 cm.
#### 4) Calcul du volume du tronc de cône
Le volume du tronc de cône est donné par la formule :
\[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi h(R^2 + r^2 + Rr)\]
Où \(R\) est le rayon de la base du grand cône et \(r\) est le rayon de la base du petit cône.
\[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \left((2r)^2 + r^2 + 2r \times r\right)\]
\[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \left(4r^2 + r^2 + 2r^2\right)\]
\[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \times 7r^
2\]
\[V_{\text{tronc}} = \frac{91}{3} \pi r^2\]
\[V_{\text{tronc}} = \frac{91}{3} \pi \times 18,05\]
\[V_{\text{tronc}} \approx 956,8\text{ cm}^3\]
Donc, le volume du tronc de cône est environ 956,8 cm³.
### Conclusion
– Dans l’exercice 1, on a démontré différentes propriétés de triangles et parallèles.
– Dans l’exercice 2, on a calculé l’échelle d’agrandissement, la hauteur et le rayon du petit cône, ainsi que le volume du tronc de cône.
– Les constructions et les calculs ont été réalisés conformément aux exigences de l’épreuve.
