BAC 2025 – Correction de l’épreuve de Mathématiques , série S2

✅ EXERCICE 1 : (10 points)

On se base sur un tableau de variations (non fourni ici, mais probablement donné dans le sujet papier). Je vais te guider sur les étapes en supposant une fonction typique.

---

1. Domaine de définition et limites aux bornes (1,5 pt)

• Lire l’intervalle où la fonction est définie à partir du tableau.

• Donner les limites en x→a+x→a+ ou x→b−x→b− (avec notation rigoureuse si asymptotes verticales).

✅ Exemple de réponse attendue :
Domaine : Df=]a;b[Df​=]a;b[
Limites :

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty
]

---

2. Dérivabilité en 0 et tangente en 0 (1 pt)

• Étudier la continuité et la variation de f′f′ autour de 0.

• Si $f$ est dérivable en 0, on déduit f′(0)f′(0) et donc l’équation de la tangente :

T:y=f(0)+f′(0)xT:y=f(0)+f′(0)x

---

3. Signe de f′f′ (1 pt)

À lire à partir des variations de $f$ :

• Si $f$ croît : f′>0f′>0

• Si $f$ décroît : f′<0f′<0

• Si $f$ est constant : f′=0f′=0

Réponse attendue : un tableau de signes ou description claire par intervalles.

---

4. Équations des asymptotes (1,5 pt)

• Repérer :

  • Asymptotes verticales : limites infinies aux bornes.

  • Asymptote horizontale ou oblique : limites en $x\to \pm \infty$

---

5. Tracer CfCf​ (2,5 pt)

• Tracer les asymptotes.

• Tracer les tangentes en 0.

• Placer les points clés (extrémums, inflexion).

• Soigner l’allure générale, fidèle au tableau de variations.

---

6. Solutions de $f(x)=0$ (0,5 pt)

• À lire directement sur le tableau : les abscisses où $f$ change de signe.

---

7. Bijectivité de $f$ sur ]1 ; 4] + représentation de f−1f−1 (1,5 pt)

• Vérifier si $f$ est strictement monotone sur ]1 ; 4] → donc bijective.

• Représenter la courbe symétrique par rapport à la bissectrice $y=x$.

---

✅ EXERCICE 2 : (4 points)

Suites numériques appliquées

---

Modou : suite arithmétique

• u1=5u1​=5, $r=2$

• un=5+(n−1)×2=2n+3un​=5+(n−1)×2=2n+3

• Somme après $n$ jours :

Sn=n2(2×5+(n−1)×2)=n2(10+2n−2)=n(n+4)Sn​=2n​(2×5+(n−1)×2)=2n​(10+2n−2)=n(n+4)

• Trouver $n$ tel que Sn≥42Sn​≥42

---

Abdoulaye : suite géométrique

• v1=5v1​=5, $q=1,12$

• vn=5×1,12n−1vn​=5×1,12n−1

• Somme des $n$ premiers jours :

Sn=5×1−1,12n1−1,12Sn​=5×1−1,121−1,12n​

• Trouver le plus petit $n$ tel que Sn≥42Sn​≥42

✅ Réponse : comparer les deux valeurs de $n$ pour conclure.

---

✅ EXERCICE 3 : (6 points)

Polynômes, factorisation et géométrie complexe

---

1. Calcul de $P(2)$ (0,5 pt)

P(2)=23−2×22+3×2−6=8−8+6−6=0⇒2 est une racine.P(2)=23−2×22+3×2−6=8−8+6−6=0⇒2 est une racine.

---

2. Factorisation par $(z-2)$ (1 pt)

Soit P(z)=(z−2)(z2+az+b)P(z)=(z−2)(z2+az+b)
Développer puis identifier les coefficients :

P(z)=z3+az2+bz−2z2−2az−2b=z3+(a−2)z2+(b−2a)z−2bP(z)=z3+az2+bz−2z2−2az−2b=z3+(a−2)z2+(b−2a)z−2b

Comparer avec :
P(z)=z3−2z2+3z−6P(z)=z3−2z2+3z−6

➔ Système :

• $a-2=-2$ ⟹ $a=0$

• $b-2a=3$ ⟹ $b=3$

• Vérif : $-2b=-6$ ⟹ OK

---

3. Résolution de $P(z)=0$ (1 pt)

P(z)=(z−2)(z2+3)⇒z=2ouz2=−3⇒z=±i3P(z)=(z−2)(z2+3)⇒z=2ouz2=−3⇒z=±i3​

---

4. Géométrie complexe (2,5 pts)

a) Placer les points (1,5 pt)

• $A:2$ → sur l’axe réel

• B:3iB:3​i, C:−3iC:−3​i → sur l’axe imaginaire

b) Calcul des longueurs (1 pt)

• AB=∣2−i3∣=4+3=7AB=∣2−i3​∣=4+3​=7​

• AC=∣2+i3∣=4+3=7AC=∣2+i3​∣=4+3​=7​

• BC=∣2i3∣=23BC=∣2i3​∣=23​

c) Nature du triangle (0,5 pt)

• $AB=AC$ et BC≠AB⇒BC=AB⇒ triangle isocèle

• Vérifier angle droit avec produit scalaire ou théorème de Pythagore