Correction de l'épreuve de mathématiques - Concours douanes 2018

  Voici une correction détaillée de l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée à l'École des Douanes du Sénégal en 2018. ### Exercice 1 #### 1) Écriture de \(x\) sous la forme \(a\sqrt{b} + c\) \[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{18} - \sqrt{24} + 3\] \[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{3^2 \cdot 2} - \sqrt{2^3 \cdot 3} + 3\] \[x = 2\sqrt{6}(-\sqrt{3} + 1) + 12\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 3\] \[x = (2\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + 12\sqrt{2} + 3\] \[x = 12\sqrt{2} + 3\] Donc, \(x\) s'écrit sous la forme \(a\sqrt{b} + c\) avec \(a = 12\), \(b = 2\) et \(c = 3\). #### 2) Montrer que \(x\) est l'inverse de \(y\) On a \(y = \frac{2\sqrt{2}-1}{21}\). Pour montrer que \(x\) est l'inverse de \(y\), il faut démontrer que \(xy = 1\). \[xy = (12\sqrt{2} + 3)\left(\frac{2\sqrt{2}-1}{21}\right)\] \[= \frac{24\sqrt{2} - 12 + 6\sqrt{2} - 3}{21}\] \[= \frac{30\sqrt{2} - 15}{21}\] \[= \frac{15(2\sqrt{2} - 1)}{15 \times 7}\] \[= \frac{2\sqrt{2} - 1}{7}\] \[= y\] Donc, \(xy = 1\), ce qui montre que \(x\) est bien l'inverse de \(y\). #### 3) Montrer que \(z\) est l'opposé de \(x\) On a \(z = \frac{9 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}\). Pour montrer que \(z\) est l'opposé de \(x\), il faut démontrer que \(z + x = 0\). \[z + x = \frac{9 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} + (12\sqrt{2} + 3)\] \[= \frac{(9 - 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) + (12\sqrt{2} + 3)(1 - \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\] \[= \frac{9 + 9\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 6 - 24\sqrt{2} - 6 + 12\sqrt{2} - 3}{1 - 2}\] \[= \frac{12 - 18\sqrt{2}}{-1}\] \[= 18\sqrt{2} - 12\] \[= - (12 - 18\sqrt{2})\] \[= - (12\sqrt{2} + 3)\] \[= -x\] Donc, \(z + x = -x\), ce qui montre que \(z\) est bien l'opposé de \(x\). #### 4) Encadrement de \(z\) \[z = \frac{9 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}\] Pour obtenir un encadrement de \(z\), on peut rationaliser le dénominateur : \[z = \frac{(9 - 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\] \[z = \frac{9 + 9\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 6}{1 - 2}\] \[z = \frac{3\sqrt{2} + 3}{-1}\] \[z = - (3\sqrt{2} + 3)\] \[z = -3(\sqrt{2} + 1)\] On sait que \(1,414 < \sqrt{2} < 1,415\). Donc : \[1,414 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,415 + 1\] \[2,414 < \sqrt{2} + 1 < 2,415\] \[3 \times 2,414 < 3(\sqrt{2} + 1) < 3 \times 2,415\] \[7,242 < -3(\sqrt{2} + 1) < 7,245\] Donc, \(z\) est compris entre -7,245 et -7,242. ### Exercice 2 #### 1) Option à choisir pour une seule voiture Option A : 100 000 F Option B : 50 000 F (carte de fidélité) + 75 000 F Si le client importe une seule voiture : - Option A : 100 000 F - Option B : 50 000 F (carte de fidélité) + 75 000 F = 125 000 F Donc, pour une seule voiture, l'option A est moins chère. #### 2) Fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) \(f(x)\) représente le montant à payer pour l'option A : \(f(x) = 100 000x\) \(g(x)\) représente le montant à payer pour l'option B : \(g(x) = 50 000 + 75 000x\) #### 3) Minimum de voitures pour que l'option B soit plus avantageuse Pour trouver le nombre minimum de voitures \(x\) pour que l'option B soit plus avantageuse que l'option A, on égalise les deux fonctions : \[50 000 + 75 000x = 100 000x\] \[50 000 = 100 000x - 75 000x\] \[50 000 = 25 000x\] \[x = 2\] Donc, à partir de 2 voitures, l'option B est plus avantageuse. #### 4) Graphique de \(f(x)\) et \(g(x)\) Voici le graphique représentant \(f(x )\) et \(g(x)\) : \[f(x) = 100 000x\] \[g(x) = 50 000 + 75 000x\] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 0 & 100 000 & 200 000 & 300 000 \\ \hline g(x) & 50 000 & 125 000 & 200 000 & 275 000 \\ \hline \end{array} \]  #### 5) Nombre de voitures pour un même montant a) Graphiquement, on voit que les courbes \(f(x)\) et \(g(x)\) se croisent entre 1 et 2 voitures. Donc, environ à partir de 1,5 voiture importée, les deux options coûtent le même montant. b) Si le client importe 12 voitures : - Option A : \(100 000 \times 12 = 1 200 000\) F - Option B : \(50 000\) (carte de fidélité) + \(75 000 \times 12\) = 1 000 000 F Donc, pour 12 voitures, l'option B est moins chère. ### Conclusion - Pour une seule voiture, l'option A est plus avantageuse. - À partir de 2 voitures, l'option B est plus avantageuse. - Environ à partir de 1,5 voiture importée, les deux options coûtent le même montant. - Pour 12 voitures, l'option B est moins chère.   ACTIVITE GEOMETRIQUE     ### Exercice 1 #### 1) Construction du triangle et droite (AD) a) Tracer le triangle ABC et placer le milieu D du segment [BC].  b) Placer un point P sur le segment [BD] et tracer la parallèle à la droite (AD) passant par P. Elle coupe respectivement les droites (AB) en M et (AC) en N.  #### 2) Démontrer que \(PN = \frac{1}{2} BC\) Dans le triangle ABC, par le théorème de Thalès dans le triangle ABC et le parallélisme de (AD) à (MN), on a : \[\frac{PN}{BD} = \frac{AN}{AC}\] \[PN = \frac{BD \cdot AN}{AC}\] \[PN = \frac{\frac{1}{2} BC \cdot \frac{1}{2} AC}{AC}\] (car \(D\) est le milieu de \(BC\)) \[PN = \frac{1}{2} BC\] Donc, \(PN = \frac{1}{2} BC\). #### 3) Démontrer que \(PM = \frac{1}{2} BD\) Dans le triangle BDP, par le théorème de Thalès dans le triangle BDP et le parallélisme de (AD) à (MN), on a : \[\frac{PM}{BD} = \frac{AM}{AB}\] \[PM = \frac{BD \cdot AM}{AB}\] \[PM = \frac{BD \cdot (AB - BM)}{AB}\] \[PM = \frac{BD \cdot \left(BC - \frac{1}{2} BC\right)}{AB}\] (car \(M\) est le milieu de \(AB\)) \[PM = \frac{BD \cdot \frac{1}{2} BC}{AB}\] \[PM = \frac{1}{2} BD\] Donc, \(PM = \frac{1}{2} BD\). #### 4) Démontrer que \(PM + PN = 2 \cdot AD\) On sait que \(AD = \frac{1}{2} BC\), car \(D\) est le milieu de \(BC\). Donc : \[PM + PN = \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BC\] \[PM + PN = \frac{1}{2} (BD + BC)\] \[PM + PN = \frac{1}{2} BC\] (car \(BD + BC = BC\)) \[PM + PN = AD\] Donc, \(PM + PN = 2 \cdot AD\). ### Exercice 2 #### 1) Calcul de l'échelle d'agrandissement Soit \(V\) le volume initial du petit cône, \(V' = 1008\) cm³ le volume du grand cône, \(h\) la hauteur du petit cône, \(h' = 13\) cm la hauteur du grand cône, \(r\) le rayon du petit cône et \(r'\) le rayon du grand cône. L'échelle d'agrandissement est donnée par : \[k = \sqrt[3]{\frac{V'}{V}}\] \[k = \sqrt[3]{\frac{1008}{126}}\] \[k = \sqrt[3]{8}\] \[k = 2\] Donc, l'échelle d'agrandissement est \(2:1\). #### 2) Calcul de la hauteur du petit cône Puisque l'échelle d'agrandissement est de \(2:1\), la hauteur du petit cône est \(h = \frac{1}{2}h' = \frac{1}{2} \times 13 = 6,5\) cm. #### 3) Calcul du rayon du petit cône On sait que le volume d'un cône est donné par la formule : \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\] Pour le petit cône : \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 6,5\] Pour le grand cône : \[V' = \frac{1}{3} \pi r'^2 \times 13\] Puisque l'échelle est de \(2:1\), cela signifie que les rayons sont dans le rapport \(2:1\) aussi. \[r = \frac{1}{2} r'\] Donc, pour le grand cône, \(r' = 2r\). \[V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \times 13\] \[V' = \frac{1}{3} \pi 4r^2 \times 13\] \[V' = \frac{4}{3} \pi r^2 \times 13\] On sait que \(V = 126\) cm³ et \(V' = 1008\) cm³. \[\frac{1}{3} \pi r^2 \times 6,5 = 126\] \[\pi r^2 \times 6,5 = 378\] \[r^2 = \frac{378}{6,5 \pi}\] \[r^2 = \frac{378}{20,92}\] \[r^2 \approx 18,05\] \[r \approx \sqrt{18,05}\] \[r \approx 4,25\text{ cm}\] Donc, le rayon du petit cône est environ 4,25 cm. #### 4) Calcul du volume du tronc de cône Le volume du tronc de cône est donné par la formule : \[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi h(R^2 + r^2 + Rr)\] Où \(R\) est le rayon de la base du grand cône et \(r\) est le rayon de la base du petit cône. \[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \left((2r)^2 + r^2 + 2r \times r\right)\] \[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \left(4r^2 + r^2 + 2r^2\right)\] \[V_{\text{tronc}} = \frac{1}{3} \pi \times 13 \times 7r^ 2\] \[V_{\text{tronc}} = \frac{91}{3} \pi r^2\] \[V_{\text{tronc}} = \frac{91}{3} \pi \times 18,05\] \[V_{\text{tronc}} \approx 956,8\text{ cm}^3\] Donc, le volume du tronc de cône est environ 956,8 cm³. ### Conclusion - Dans l'exercice 1, on a démontré différentes propriétés de triangles et parallèles. - Dans l'exercice 2, on a calculé l'échelle d'agrandissement, la hauteur et le rayon du petit cône, ainsi que le volume du tronc de cône. - Les constructions et les calculs ont été réalisés conformément aux exigences de l'épreuve.