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Correction des épreuves de mathématiques - Concours Eaux et Forêts, session 2015
29/06/2025 à 15:14
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Correction des épreuves de mathématiques
Concours d'entrée dans les Centres Nationaux de Formation de Techniciens (CNFT)
Session 2015 - Spécialité Développement Rural
Activités Numériques (10 points)
Exercice 1: Fonctions
1) a) Développer, réduire et ordonner h(x) = x² - 9 - (3 - x)(x + 5)
0,5 pt
Développement :
h(x) = x² - 9 - (3 - x)(x + 5)
= x² - 9 - [3x + 15 - x² - 5x]
= x² - 9 - (-x² - 2x + 15)
= x² - 9 + x² + 2x - 15
= 2x² + 2x - 24
1) b) Factoriser h(x)
1 pt
h(x) = 2x² + 2x - 24 = 2(x² + x - 12)
Factorisation du trinôme : x² + x - 12 = (x + 4)(x - 3)
h(x) = 2(x + 4)(x - 3)
2) a) Calculer h(-3); h(3/4); h(1 - √2)
1,5 pt (0,5 par calcul)
• h(-3) = 2(-3 + 4)(-3 - 3) = 2(1)(-6) = -12
• h(3/4) = 2(3/4 + 4)(3/4 - 3) = 2(19/4)(-9/4) = -171/8
• h(1 - √2) = 2(5 - √2)(-2 - √2) = 2[-8 - 3√2] = -16 - 6√2
2) b) Résoudre dans ℝ : h(x) = 0; h(x) = -24; h(x) ≥ 0
2 pts
• h(x) = 0 ⇒ 2(x + 4)(x - 3) = 0 ⇒ x = -4 ou x = 3
• h(x) = -24 ⇒ 2x² + 2x - 24 = -24 ⇒ 2x(x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = -1
• h(x) ≥ 0 : Tableau de signes
| x | -∞ | -4 | 3 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe | + | 0 | - | 0 | + |
Solution : x ∈ ]-∞, -4] ∪ [3, +∞[
Exercice 2: Fonction rationnelle
3) a) Domaine de définition de r(x) = (f×g)(x)/h(x) et simplification
1 pt
• Domaine : h(x) ≠ 0 ⇒ x ≠ -4 et x ≠ 3
• (f×g)(x) = (3x - 1)(-x + 3) = -3x² + 10x - 3
r(x) = (-3x² + 10x - 3)/[2(x + 4)(x - 3)]
3) b) Encadrement de r(2√3) à 10⁻² près
1 pt
2√3 ≈ 3.464
r(3.464) ≈ [-3(12) + 10(3.464) - 3]/[2(7.464)(0.464)] ≈ -4.36/6.92 ≈ -0.63
-0.64 < r(2√3) < -0.62
Exercice 3: Système d'équations
4) a) Résoudre le système dans ℝ²
2 pts
⎧ 3x + 2y + 2 = 0
⎨ y/x + 4 = 0 ⇒ y = -4x
Substitution : 3x + 2(-4x) + 2 = 0 ⇒ -5x + 2 = 0 ⇒ x = 2/5
Solution : (2/5, -8/5)
4) b) Résolution graphique
1 pt
• Tracer les droites :
- 3x + 2y + 2 = 0
- y = -4x
Point d'intersection : (2/5, -8/5)
Session 2016 - Spécialités Agricoles
Activités Numériques (10 points)
Exercice 1 (4 points)
1) Compléter :
1 pt (0,5 par réponse)
a) √x² = |x|
b) Si |x| = |y| alors x = y ou x = -y
2) a) Montrer que M = 4 - 3√2 est négatif
0,5 pt
√2 ≈ 1.414 ⇒ 3√2 ≈ 4.242 ⇒ M ≈ -0.242 < 0
2) b) Calculer M² et N²
1 pt
M² = (4 - 3√2)² = 16 - 24√2 + 18 = 34 - 24√2
N² = (2 + (3/2)√2)² = 4 + 6√2 + 9/2 = 8.5 + 6√2
2) c) Écrire Z = √(34 - 24√2) sous la forme a√2 + b
1 pt
√(34 - 24√2) = a√2 + b ⇒ 34 - 24√2 = 2a² + b² + 2ab√2
Par identification : a = 3, b = -4
Z = 3√2 - 4
2) d) Justifier que M² + 4N² = 68
0,5 pt
M² + 4N² = (34 - 24√2) + 4(8.5 + 6√2) = 34 + 34 = 68
Exercice 2 (6 points)
1) Développer A(x) = 16 - (2x - 7)²
1 pt
A(x) = 16 - (4x² - 28x + 49) = -4x² + 28x - 33
2) Factoriser A(x) et B(x)
1 pt (0,5 par factorisation)
A(x) = 16 - (2x - 7)² = (4 - (2x - 7))(4 + (2x - 7)) = (-2x + 11)(2x - 3)
B(x) = (x - 2)² - (x - 1)(2 - x) = (x - 2)(2x - 3)
3) Résoudre dans ℝ
2,5 pts
a) (-2x + 11)(2x - 3) = 0 ⇒ x = 11/2 ou x = 3/2
b) (x - 2)(2x - 3) ≥ 0
| x | -∞ | 3/2 | 2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe | + | 0 | - | 0 | + |
Solution : x ∈ ]-∞, 3/2] ∪ [2, +∞[
4) Résoudre A(x) < B(x)
1,5 pt
-4x² + 28x - 33 < x² - 4x + 4 - (2x - x² - 2 + x)
Simplification et résolution de l'inéquation...
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